1979-1980 Ricorrenze nei decimali di una divisione reiterata
Nel corso delle vacanze scolastiche, soprattutto nei mesi di giugno e luglio, era mia abitudine in quel periodo andare nell'ufficio di Valenza della ditta di mio padre per aiutare lo staff nelle piccole incombenze.
L'idea del genitore era quella di tenermi occupato nei giorni feriali: in realtà - non avendo esperienza - mi affidavano compiti ripetitivi e noiosi, e passavo spesso lunghe ore a far nulla, con a disposizione tuttavia carta per quaderni ad anelli e la calcolatrice.
La noia mi portava a schizzare disegni - soprattutto muri di pietra, tombe, paesaggi desolati ed alberi scheletrici (visibili al link www.davidemolina.it/davide/davideschizzi.html ) - oppure in alternativa a giocare con i numeri.
Capitava così di riempire pagine di numeri, dividendo per 2 un qualunque numero iniziale.
Dapprima utilizzavo la calcolatrice, poi - superato il numero di cifre disponibili sul display - proseguivo facendo i conti a mano.
Una volta riempito un foglio mi lasciavo affascinare dalla "trama" dell'arazzo che si veniva a creare.
Ho presto notato che l'ultima cifra decimale di ogni riga rimane la stessa, e cosi' la penultima (nel nostro caso 5 l'ultima e 7 la penultima).
La terz'ultima cifra decimale invece ricorre a righe alterne: cioè il numero nella riga successiva presenta la terzultima cifra decimale diversa da quella del numero nella riga corrente. Tuttavia si ripropone eguale nel numero della riga successiva, e così via. L'avevo definita "alternanza tra 2 cifre" (nel nostro caso si alternano 3 e 8).
La quart'ultima cifra decimale ricorre ogni 4 numeri con decimali (nel nostro caso si alternano 1 9 6 e 4).
La quint'ultima cifra decimale ricorre ogni 8 numeri con decimali.
La sest'ultima cifra decimale ricorre ogni 16 numeri con decimali.
e cosi' via seguendo la serie delle potenze di 2.
Quindi partendo dall'ultima cifra decimale, ricaviamo il seguente specchietto :
Data una serie di numeri il cui primo elemento presenti almeno un decimale ottenuta dividendo il numero precedente per 2, si manifesta la seguente proprietà:
le cifre precedenti l'ultimo decimale - a parità di distanza dallo stesso - si ripresentano con regolarità mano a mano che la serie prosegue.
Il numero di elementi della serie che dobbiamo saltare per trovare la stessa cifra nella stessa posizione (cioè ad egual distanza eguale dall'ultima cifra decimale) è dato dalla potenza di 2 dove l'esponente è pari alla distanza stessa.
Questo è quanto mi aveva colpito a quel tempo, 37 anni fa'.
Scrivendo il blog ho provato a fare la stessa cosa ma usando strumenti "più attuali" e cioè servendomi di un PC ed un foglio elettronico (Excel)
Per prima cosa ho trovato un mio errore di calcolo nella versione originale alla 15 riga verso il basso partendo dal primo numero con decimali, cioè nel calcolo del numero con 15 cifre decimali:
succede, sono sempre stato molto distratto!
Se procediamo di altre 6 righe verso il basso arrivando al numero con 21 cifre decimali notiamo che ... il foglio di excel sbaglia la divisione indicando la 20 cifra decimale non corretta!
I numeri fino a 20 cifre decimali vengono calcolati correttamente dalla formula di excel che ottiene il numero nella riga successiva dividendo il numero della riga precedente per 2 (N.B. si è stabilito un formato per le celle "numero con 30 decimali").
Se tuttavia il numero ha più di 20 cifre decimali il calcolo ritorna un risultato non corretto a partire dalla 21^ cifra.
Ce ne accorgiamo ad occhio perché ... cambia "la trama" del nostro arazzo:
infatti i numeri non terminano più con cifre che si ripetono alternandosi con le regole che abbiamo visto in precedenza.
