Ho fatto uno errore! :-( Ma posso rimediare :-)
In precedenza avevo erroneamente affermato che la
frequenza relativa dei numeri palindromi a base dieci rispetto al
totale dei numeri decimali rimane costante al 10%,
indipendentemente dal numero di posizioni preso in esame ed a
differenza di quanto accade qualora si considerino i palindromi
nella numerazione binaria (la cui frequenza si dimezza ogni volta
che vengono aggiunte due posizioni).
NB: con posizioni intendo la "lunghezza" di un numero: 10 si
scrive in due spazi quindi 2 posizioni, 12300 in 5 spazi quindi 5
posizioni.
numerazione a base binaria (0 e 1 soltanto)
2 posizioni 3 posizioni
10 110 numeri non palindromi
11 101 numeri palindromi
numerazione a base decimale (da 0 a 9)
2 posizioni 3 posizioni
43 280 numeri non palindromi
44 454 numeri palindromi
totale numeri binari che possono esser scritti in 2 posizioni: 2
(10 e 11)
totale numeri binari che possono esser scritti in 3 posizioni: 4
(100, 101, 110 e 111)
totale numeri decimali che possono esser scritti in 2 posizioni:
90 (da 10 a 99)
totale numeri decimali che possono esser scritti in 3 posizioni:
900 (da 100 a 999)
Come il "tacchino induttivista" di Bertrand Russell, ho confidato
che quanto verificato per un sottoinsieme di numeri valesse anche
per l'insieme cui appartiene: è un errore di induzione, che mi da
modo di raccontarvi qualcosa su come funziona la scienza e sulla
sua attendibilità.
Nella favoletta di Russell, un tacchino viene portato in una nuova
fattoria dove il cibo è distribuito ogni mattina alle 8:30.
Il tacchino è un tipo scrupoloso, aspetta sei mesi prima di
decidersi ad affermare con sicurezza: "in questa fattoria mi danno
da mangiare tutti i giorni della settimana alle 8:30".
Il poveretto non poteva sapere che proprio l'indomani, il giorno
del ringraziamento, invece di ricevere cibo alla stessa ora gli
sarebbe stato tirato il collo.
Verso la metà dello scorso secolo Karl Popper, filosofo della
scienza, aveva individuato il punto debole del metodo scientifico.
Per quanti esperimenti si possano eseguire, sosteneva, non potrà
mai esser raggiunta la certezza che un ulteriore esperimento non
smentisca una teoria fino a quel momento verificata.
Intendeva cioè affermare che il metodo sperimentale possa soltanto
invalidare una teoria, non dichiararla vera per sempre.
Unica eccezione è l'applicazione del metodo deduttivo, quello
utilizzato nella dimostrazione dei teoremi matematici.
Ho già trattato questo argomento nel mio post su Bruno de Finetti
(https://davidemolinapersonale.blogspot.com/2019/10/probabilita-certezza-ed-affidabilita.html).
Veniamo ora al mio errore ed alle sue cause.
Conteggiare la frequenza dei numeri palindromi in base binaria
fino a 9 posizioni ha richiesto l'osservazione di 511 numeri
binari.
Trovato il numero di palindromi corrispondenti a ciascuna delle
posizioni da 2 a 9, e rapportatolo al totale dei numeri di ognuna,
ottenni questa serie: 1/2 (2 posizioni), 1/2 (3 posizioni), 1/4 (4
posizioni), 1/4 (5 posizioni), 1/8 (6 posizioni), 1/8 (7
posizioni), 1/16 (8 posizioni), 1/16 (9 posizioni).
Ad ogni aumento di 2 posizioni, la frequenza dei palindromi sul
totale si dimezza. Avevo così ricavato la regola (già enunciata
nel post precedente):
"partendo da 2 posizioni, dove osserviamo il 50% di numeri
palindromi sul totale, abbiamo un dimezzamento della loro
frequenza ogni volta che si aggiungono 2 posizioni".
Volevo poi capire cosa succedesse passando alla serie numerica con
base decimale.
Immediatamente mi sono scontrato con la crescita esponenziale dei
numeri da esaminare nella ricerca dei palindromi all'aumentare del
numero di posizioni: l'osservazione dei numeri che si possono
scrivere con 3 posizioni richiede l'analisi di un migliaio di essi
(contro gli 8 se consideriamo la base binaria); proseguire
l'indagine con i numeri a 4 posizioni significa esaminarne quasi
10.000.
Per questa ragione, relativamente ai decimali, mi ero fermato alla
ricerca dei palindromi che si possono scrivere occupando fino a 3
posizioni, ed ho ottenuto le frequenze di 1/10 (2 posizioni) ed
ancora di 1/10 (3 posizioni).
L'errore è stato pensare che tale frequenza valesse anche per un
numero di posizioni maggiore: ho "indotto" che la regola
riscontrata si potesse estendere a qualsiasi numero di posizioni.
Ma non è così.
Come mi sono accorto dell'errore?
Al termine del post precedente mi chiedevo quale fosse l'andamento
delle frequenze nel caso di numeri palindromi espressi in
notazione esadecimale (quella utilizzata dai sistemi operativi dei
PC).
Non mi tornava il fatto che il sistema decimale dovesse avere
qualcosa di speciale, di "definitivo" (la frequenza sempre pari a
1/10), a differenza di quanto capitava usando il sistema binario:
cosa sarebbe allora successo considerando le serie di numeri in
base maggiore di 10?
Trattare numeri a base 11 richiede l'analisi di insiemi di numeri
ancora più grandi di quelli necessari per i decimali.
Ho allora deciso di verificare cosa succeda nei sistemi a base
intermedia: da 3 (sistema terziario) fino al 9 (sistema
novenario).
In un foglio di excel ho creato una tabella con 1024 righe le cui
colonne sono costituite dalle numerazioni nelle basi da 2 fino a
10.
Ho così potuto verificare che uno schema delle frequenze simile a
quello rilevato per i palindromi binari (diminuzione dei valori
percentuali delle frequenze di numeri palindromi ogni volta che
aumenta di due unità il numero delle posizioni) lo si ritrova in
tutte le numerazioni, anche se ad un "ritmo" diverso.
Ho ricavato - per ogni numero di posizioni - il totale dei numeri
che sia possibile scriverci all'interno (con due posizioni, nel
caso del sistema decimale possiamo scrivere i numeri da 10 a 99, e
cioè 90 numeri); ecco la formula utilizzata:
base del sistema numerico ^ numero di posizioni - base del
sistema numerico ^ (numero di posizioni - 1)
che si può scrivere sinteticamente come: B ^ N - B ^ (N -
1)
Ho poi contato quanti numeri palindromi si trovino per ogni numero
di posizioni in ogni tipo di numerazione.
Rapportando infine questo numero sul valore calcolato B ^ N - B ^
(N - 1) ottengo la frequenza (dato un numero di posizioni, calcolo
la percentuale di numeri palindromi sul totale dei numeri che si
possono scrivere in quelle posizioni) .
Dal risultato ottenuto empiricamente (vedi immagine qui in fondo)
ho ricavato la seguente formula che mi restituisce, per un sistema
numerico a base B, la percentuale di palindromi P sul totale dei
numeri che si possono scrivere in N posizioni:
1
P =
-------------------------------------------------------------------------
base del sistema numerico ^| numero di posizioni / 2 |
1
scritto in maniera più sintetica: P = ------------
B ^
|N/2|
dove con |N/2| si intende solo la parte intera del risultato della
divisione.
Difficile? No!!!!!!!
Mettiamolo in pratica:
caso 1: quanti numeri binari palindromi ci sono tra i numeri
binari che si possono scrivere in 7 posizioni (tipo "1011011" per
intenderci)?
R: 7:2 = 3,5 prendiamo il 3 (la parte intera del
risultato) e lo utilizziamo come esponente della base della
numerazione binaria, che è 2
2^3 = 8 e lo mettiamo come denominatore della
nostra frazione cui numeratore abbiamo detto essere l'unità: 1/8
Un ottavo è la frequenza dei numeri palindromi
binari che si possono scrivere in 7 posizioni.
caso 2: quanti numeri ottali palindromi ci sono tra i numeri che
si possono scrivere in 4 posizioni (tipo "5821" per intenderci)?
R: 4:2 = 2 cioè prendiamo il numero di posizioni e lo
dividiamo per due, ed il risultato lo usiamo come esponente della
base 8
8^2 = 64 usiamo il numero ottenuto come
denominatore della frazione che ha l'unità al numeratore: 1/64
caso 3: quanti numeri esadecimali palindromi ci sono tra i numeri
che si possono scrivere in 3 posizioni (tipo "5F8" per
intenderci)?
R: 3:2 = 1,5 prendiamo 1 (la parte intera) e lo usiamo
come esponente della base 16
16^1 = 16 usiamo il numero ottenuto come
denominatore della frazione che ha l'unità al numeratore: 1/16
L'altra domanda che mi ero posto riguardava la frequenza dei
numeri palindromi nelle diverse basi indipendentemente dal numero
di posizioni: nei primi 1000 numeri ci sono più palindromi nella
numerazione a base binaria od in quella a base decimale?
Per comodità di calcolo consideriamo i primi 1024 numeri (2^10) e
vediamo quanti palindromi binari e quanti decimali ci sono
nell'intervallo.
I palindromi binari nei primi 1024 numeri sono 93; quelli decimali
sono 90 fino a "999" cui dobbiamo aggiungere il "1001", dunque in
totale sono+1=91.
La differenza con i binari non è grande (91 su 93) a lieve
vantaggio dei binari.
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